Cho S là diện tích phần hình phẳng được tô màu như Hình 4.7.

Khi đó biểu thức tính diện tích S là

\(\int {{x^2}} dx\) bằng:

\(\int {\left( {{x^2} + 3{x^3}} \right)dx} \) có dạng \(\frac{a}{3}\)x³ + \(\frac{b}{4}\)x⁴  + C, trong đó a, b là hai số nguyên. Giá trị a + b bằng:

Cho \(\int\limits_0^2 {f\left( x \right)dx = 3} \) và \(\int\limits_2^5 {f\left( x \right)dx} \) = 7. Giá trị của \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx} \) là

Cho hàm số f(x) liên tục trên ℝ và \(\int\limits_0^4 {f\left( x \right)dx = 4} \). Giá trị của tích phân \(\int\limits_0^4 {2f\left( x \right)dx} \) là

Cho hàm số f(x) có đạo hàm f‘(x) liên tục trên ℝ, f(0) = 1 và \(\int\limits_0^2 {f’\left( x \right)dx = 4} \). Khi đó giá trị f(2) bằng

Giá trị trung bình của hàm f(x) trên đoạn [a; b] được tính bởi công thức m = \(\frac{1}{{b – a}}\int\limits_a^b {f\left( x \right)dx} \). Khi đó, giá trị trung bình của hàm số f(x) = x² + 2x trên đoạn [0; 3] là

Cho hàm số y = f(x) liên tục trên [a; b] và f(x) ≤ 0, ∀x ∈ [a; b]. Diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số y = f(x), trục Ox và hai đường thẳng x = a, x = b được tính bằng công thức

Một đất nước tiêu thụ dầu theo tốc độ xác định bởi r(t) = 20.e^0,2t tỉ thùng mỗi năm, trong đó t là thời gian tính theo năm, 0 ≤ t ≤ 10. Trong khoảng 10 năm kể trên, nước đó đã tiêu thụ lượng dầu là

Khi nghiên cứu một quần thể vi khuẩn, người ta nhận thấy quần thể vi khuẩn đó ở ngày thứ t có số lượng N(t) con. Biết rằng tốc độ phát triển của quần thể đó là N‘(t) = \(\frac{{8000}}{t}\) và sau ngày thứ nhất (t = 1) có 250 000 con. Sau 6 ngày (t = 6), số lượng của quần thể vi khuẩn là

Tìm họ tất cả các nguyên hàm của các hàm số sau:

a) \(y = {\sin ^2}\frac{x}{2}\);

b) $y=e^{2x}-2x^5+5$

Tìm một nguyên hàm F(x) của hàm số f(x) = 2x − \(\frac{1}{x}\) thỏa mãn điều kiện F(1) = 3.

Tính:

a) \(\int\limits_0^3 {\left| {3 – x} \right|dx} \);

b) \(\int\limits_0^2 {\left( {{e^x} – 4{x^3}} \right)dx} \);

c) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {\sin x + \cos x} \right)dx} \).

Tính diện tích S của hình phẳng được giới hạn bởi đồ thị hàm số y = 3x² + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 2.

Cho hình phẳng D giới hạn bởi đồ thị hàm số y = \(\sqrt {{x^2} + 1} \), trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 1. Tính thể tích khối tròn xoay tạo thành khi quay D quanh trục hoành.

Có bao nhiêu giá trị nguyên dương của tham số m để \(\int\limits_0^3 {\left( {10x – 2m} \right)dx} > 0\)?

Khi nghiên cứu dịch sốt xuất huyết ở một địa phương, các chuyên gia y tế ước tính rằng tại ngày thứ m có F(m) người mắc bệnh (sau khi đã làm tròn đến chữ số hàng đơn vị). Biết rằng tốc độ lan truyền bệnh là F‘(m) = \(\frac{{150}}{{2m + 1}}\) và ngày đầu tiên (m = 0) người ta phát hiện ra 50 bệnh nhân. Hãy xác định biểu thức của F(m) và số người mắc bệnh ở ngày thứ 10.

Một ô tô đồ chơi trượt xuống dốc và dừng sau 5 giây, vận tốc của ô tô đồ chơi từ thời điểm t = 0 giây đến t = 5 giây được cho bởi công thức v(t) = \(\frac{1}{2}\)t² – 0,1t³ (m/s).

Tính quãng đường ô tô đồ chơi đi đến khi dừng lại (làm tròn kết quả theo đơn vị mét đến số thập phân thứ hai).