Cho f ( x ) = { 1 , x ≥ 1 2 x − 1 , x < 1 . Tính giá trị I = 2 ∫ − 1 f ( x ) d x

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$. Gọi $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]$. Chọn mệnh đề đúng.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$. Gọi $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]$. Chọn mệnh đề sai.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)$ và $f^{\prime }\left(x\right)$ liên tục trên đoạn $\left[a;b\right]$. Gọi $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên đoạn $\left[a;b\right]$. Chọn mệnh đề đúng.

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$, $y=g\left(x\right)$ liên tục trên $\left[a;b\right]$, $k$ là hằng số . Xét các mệnh đề sau:

a) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx+\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx.$

b) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right).g\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx.$

c) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}kf\left(x\right)dx=k\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx.$

d) $\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}dx=\frac{\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx}{\underset{a}{\overset{b}{\int }}g\left(x\right)dx}.$

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ liên tục trên $\mathbb{R}$ và $a,b,c\in \mathbb{R}$ thỏa mãn $a<b<c$. Trong các mệnh đề dưới đây, mệnh đề đúng là

Tính $I=\underset{-1}{\overset{0}{\int }}{\left(2x+3\right)}^{2}dx$

Cho $\underset{0}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)dx=-1$; $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=5$. Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$

Tính tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{3x+1}dx$ bằng

Giá trị $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx$ bằng

Giá trị của $I=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x-2\right|dx$ bằng

Cho $\underset{-3}{\overset{0}{\int }}f\left(x\right)dx=-4$ và $\underset{-3}{\overset{0}{\int }}g\left(x\right)dx=-3$. Xét các mệnh đề sau:

a) $\underset{-3}{\overset{0}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=-7.$

b) $\underset{-3}{\overset{0}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=1.$

c) $\underset{-3}{\overset{0}{\int }}-3f\left(x\right)dx=12.$

d) $\underset{-3}{\overset{0}{\int }}\left[f\left(x\right)+3g\left(x\right)\right]dx=-51.$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

Cho $f\left(x\right),$, $g\left(x\right)$ là hai hàm liên tục trên đoạn $\left[1;3\right]$ thỏa mãn $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+3g\left(x\right)\right]dx=10,$ $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[2f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx=6.$ Tính giá trị $I=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$

Biết $F\left(x\right)=x^2$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$. Giá trị của $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left[1+f\left(x\right)\right]dx$ bằng

Vận tốc của một vật chuyển động là $v\left(t\right)=3t^2+5\left(m/s\right)$. Quãng đường vật đó đi được từ giây thứ 4 đến giây thứ 10 là

Một vật chuyển động với vận tốc 10 m/s thì tăng tốc với gia tốc được tính theo thời gian là $a\left(t\right)=t^2+3t$. Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 6 giây kể từ khi vật bắt đầu tăng tốc.

Biết $\underset{\frac{\pi }{3}}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(2\sin x+3\cos x+x\right)dx=\frac{a+b\sqrt{3}}{2}+\frac{5{\pi }^2}{c}$ với $\left(a,b,c\in \mathbb{Z}\right)$. Khi đó giá trị của $P=a+2b+3c$ là

Cho hàm số $f\left(x\right)=\{\begin{array}{l}{x}^2-1,x\ge 2\\ x^2-2x+3,x<2\end{array}$. Tính tích phân $I=\frac{1}{2}\underset{1}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$ bằng bao nhiêu?

Một chất điểm đang chuyển động với vận tốc $v_0=15$ m/s thì tăng tốc với gia tốc $a\left(t\right)=t^2+4t$ (m/s²). Tính quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian 3 giây kể từ lúc bắt đầu tăng tốc.

Cho hàm số $f\left(x\right)$ nhận giá trị không âm và có đạo hàm liên tục trên $\mathbb{R}$ thỏa mãn $f^{\prime }\left(x\right)=\left(2x+1\right){\left[f\left(x\right)\right]}^2,\mathrm{\forall }x\in \mathbb{R}$ và $f\left(0\right)=-1$

Giá trị của tích phân $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(x^3-1\right)f\left(x\right)dx$ bằng