Tìm tất cả các mặt phẳng $\left(\alpha \right)$ chứa đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{-3}$ và tạo với mặt phẳng $\left(P\right):2x-z+1=0$ góc ${45}^{\circ }.$

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, góc giữa đường thẳng $Ox$ và đường thẳng $Oy$ là

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, góc giữa đường thẳng $Oxyz$ và mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ là

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1;b_1;c_1\right)$ và $\overrightarrow{u_2}=\left(a_2;b_2;c_2\right)$. Khi đó, khẳng định nào sau đây là sai?

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho đường thẳng $\mathrm{\Delta }:\frac{x}{2}=\frac{y}{-1}=\frac{z}{2}.$. Tính cosin của góc giữa đường thẳng $\mathrm{\Delta }$ và trục $Ox$

Trong không gian $Oxyz$, cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{u_1}=\left(a_1;b_1;c_1\right)$, $\overrightarrow{u_2}=\left(a_2;b_2;c_2\right)$. Gọi $\phi$ là góc giữa hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2.$ Xét các khẳng định sau:

a. $\cos \phi =\frac{\left|a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2\right|}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$

b. $\cos \phi =\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$

c. ${\mathrm{\Delta }}_1\mathrm{\perp }{\mathrm{\Delta }}_2\iff a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2=0.$

d. $\sin \phi =\frac{a_1{a}_2+b_1{b}_2+c_1{c}_2}{\sqrt{a_1^2+b_1^2+c_1^2}.\sqrt{a_2^2+b_2^2+c_2^2}}.$

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là

Cho hai đường thẳng ${\mathrm{\Delta }}_1:\frac{x-1}{3}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{1},{\mathrm{\Delta }}_2:\frac{x}{-1}=\frac{y-2}{2}=\frac{z-3}{-1}$. Góc giữa ${\mathrm{\Delta }}_1$ và ${\mathrm{\Delta }}_2$ là

Tính góc tạo bởi đường thẳng $d:\frac{x-2}{1}=\frac{y-5}{2}=\frac{z+1}{-1}$ và mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y+z-1=0.$

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z-3=0$ và $\left(Q\right):x-z-2=0$. Góc giữa hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ bằng

Trong hệ tọa độ $Oxyz$, cho ba điểm $M\left(1;0;0\right)$, $N\left(0;1;0\right)$ và $P\left(0;0;1\right)$. Cosin của góc giữa hai mặt phẳng $\left(MNP\right)$ và $\left(Oxy\right)$ bằng

Hãy tìm giá trị thực của $m$ để góc giữa hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=-\sqrt{2}t\\ z=1+t\end{array},t\in \mathbb{R}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1+t^{\prime }\\ y=-\sqrt{2}{t}^{\prime }\\ z=1+m{t}^{\prime }\end{array},t^{\prime }\in \mathbb{R}$ bằng ${60}^{\circ }.$

Trong không gian $Oxyz$, cho đường thẳng $d_1:\{\begin{array}{l}x=1\\ y=2-t\\ z=3+2t\end{array}$ và $d_2:\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1+mt.\\ z=2-t\end{array}$. Tìm $m$ để cosin góc giữa hai đường thẳng bằng $\frac{\sqrt{5}}{5}.$

Trong không gian $Oxyz$, cho điểm$A\left(0;2;2\right)$. Góc giữa đường thẳng $OA$ và trục $Oy$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, hai đường thẳng $d_1:\frac{x-2}{1}=\frac{y+1}{\sqrt{2}}=\frac{z-3}{1}$ và $d_2:\frac{x+5}{1}=\frac{y+3}{\sqrt{2}}=\frac{z-5}{m}$ tạo với nhau góc ${60}^{\circ }$, giá trị của tham số $m$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right):x-y+2z+1=0$ và đường thẳng $d:\frac{x-1}{1}=\frac{y}{2}=\frac{z+1}{-1}$. Xét các mệnh đề sau:

Tính góc α giữa hai đường thẳng $d:\{\begin{array}{l}x=2+t\\ y=-1+t\\ z=3\end{array}$ và $d^{\prime }:\{\begin{array}{l}x=1-t^{\prime }\\ y=2\\ z=-2+t^{\prime }.\end{array}$

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right):3x+4y+5z+2=0$ và đường thẳng $d$ là giao tuyến của hai mặt phẳng $\left(\alpha \right):x-2y+1=0$ và $\left(\beta \right):x-2y-3z=0$. Hãy tính số đo góc $\alpha$ giữa $d$ và $\left(P\right)$

Trong không gian $Oxyz$, cho hai mặt phẳng $\left(P\right):x-y-6=0$ và $\left(Q\right)$. Biết rằng điểm $H\left(2;-1;-2\right)$ là hình chiếu vuông góc của gốc tọa độ $O\left(0;0;0\right)$ xuống mặt phẳng $\left(Q\right)$. Số đo góc giữa hai mặt phẳng $\left(P\right)$ và mặt phẳng $\left(Q\right)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hình chóp $S.ABC$ với ba điểm $S\left(0;0;3\right)$, $A\left(0;0;0\right)$, $C\left(0;2;0\right)$, $C\left(0;2;0\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-3=0$. Xét các mệnh đề sau

a) Cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAB\right)$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng 0

b) Cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng $\frac{2}{7}.$

c) Cosin góc giữa hai mặt phẳng $\left(SBC\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$ bằng $\frac{10\sqrt{3}}{21}.$

d) Góc giữa hai mặt phẳng $\left(SAC\right)$ và mặt phẳng $\left(ABC\right)$ bằng ${90}^{\circ }.$

Số mệnh đề đúng là