Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(3;1;7\right);B\left(5;5;1\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right):2x-y-z+4=0$. Điểm $M$ thuộc $\left(P\right)$ sao cho $MA=MB=\sqrt{35}$. Biết $M$ có hoành độ nguyên, tính $OM$

Cho hình lập phương $ABCD.A^{\prime }{B}^{\prime }{C}^{\prime }{D}^{\prime }$. Vectơ nào là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(ABCD\right)$

Phương trình nào dưới đây là phương trình tổng quát của mặt phẳng?

Trong không gian $Oxyz$ , mặt phẳng $\left(P\right):x+y+z-3=0$ đi qua điểm nào dưới đây?

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(\alpha \right):2x+y+z+1=0$. Vectơ pháp tuyến của mặt phẳng là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right):\frac{x}{1}+\frac{y}{2}+\frac{z}{3}=1$. Điểm nào sau đây không thuộc mặt phẳng $\left(P\right)$

Trong không gian $Oxyz$ , phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua điểm $A\left(2;1;3\right)$ và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;3;-1\right)$ là

Trong không gian $Oxyz$, vectơ nào sau đây là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng $\left(P\right)$, biết $\overrightarrow{a}=\left(-1;-2;-2\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(-1;0;-1\right)$ là cặp vectơ chỉ phương của $\left(P\right)$?

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $A\left(3;-2;-2\right)$, $B\left(3;2;0\right)$, $C\left(0;2;1\right)$. Phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M\left(1;2;3\right)$. Gọi $M\left(1;2;3\right)$ lần lượt là hình chiếu vuông góc của điểm $M$ lên các trục $Ox,Oy,Oz$. Phương trình mặt phẳng $\left(ABC\right)$ là

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $M\left(-1;2;0\right)$ và mặt phẳng $\left(P\right)$: $2x-2y+z+1=0$. Khoảng cách từ điểm $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho $A\left(0;1;1\right)$, $B\left(1;2;3\right)$. Viết phương trình mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $A$ và vuông góc với đường thẳng $AB$.

Cho hai mặt phẳng $\left(P\right):3x-2y+2z+7=0$ và $\left(Q\right):5x-4y+3z+1=0$. Phương trình mặt phẳng đi qua gốc tọa độ O đồng thời vuông góc với cả $\left(P\right)$ và $\left(Q\right)$ là

Trong không gian $Oxyz$, mặt phẳng đi qua điểm $M\left(1;3;-2\right)$ và song song với mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+3z+4=0$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z-4=0$. Gọi $H$ là hình chiếu vuông góc của $M\left(3;1;-2\right)$ lên mặt phẳng $\left(P\right)$. Độ dài đoạn thẳng $MH$ là

Trong không gian $Oxyz$, khoảng cách giữa hai mặt phẳng $\left(P\right):x+2y+3z-1=0$ và $\left(Q\right):x+2y+3z+6=0$ là

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$ , cho hai mặt phẳng $\left(P\right):2x+my+3z-5=0$ và $\left(Q\right):nx-8y-6z+2=0$ với $m,n\in \mathbb{R}$. Xác định $m,n$ để $\left(P\right)$ song song với $\left(Q\right)$

Cho hai mặt phẳng $\left(P\right):2x-y+2z-5=0$; $\left(Q\right):4x-2y+4z+1-m=0$ và điểm $M\left(2;1;5\right)$.

Khi đó:

a) Khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left(P\right)$ bằng $\frac{8}{3}.$

b) Với $m=0$ thì khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left(Q\right)$ bằng $\frac{9}{2}.$

c) Với $m=3$ thì khoảng cách giữa mặt phẳng $\left(P\right)$ và mặt phẳng $\left(Q\right)$ bằng 3.

d) Có hai giá trị của $m$ để khoảng cách từ $M$ đến mặt phẳng $\left(Q\right)$ bằng 1. Khi đó tổng của tất cả các giá trị $m$ bằng 5

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho $\left(P\right):ax+by+cz-27=0$ đi qua hai điểm $A\left(3;2;1\right)$ và $B\left(-3;5;2\right)$ và vuông góc với $\left(Q\right):3x+y+z+4=0$. Tính tổng $S=a+b+c.$

Trong không gian với hệ tọa độ $Oxyz$, cho các điểm $A\left(0;1;2\right),B\left(2;-2;0\right),$ $C\left(-2;0;1\right)$. Mặt phẳng $\left(P\right)$ đi qua $AH$ của tam giác $ABC$ và vuông góc với mặt phẳng $\left(ABC\right)$ có phương trình là