Cho hình tứ diện ABCD. Chứng minh rằng: \(\overrightarrow {AB} = \frac{1}{2}\overrightarrow {AC} + \frac{1}{2}\overrightarrow {AD} + \frac{1}{2}\overrightarrow {CD} + \overrightarrow {DB} \).

Cho tứ diện ABCD. Trong các vectơ có hai đầu mút là hai đỉnh phân biệt của tứ diện, có bao nhiêu vectơ có giá nằm trong mặt phẳng (ABC)?

Trong không gian, cho vectơ \[\overrightarrow a \ne \overrightarrow 0 \]. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình hộp ABCD.A’B’C’D’. Khẳng định nào sau đây là đúng?

Cho hình lập phương ABCD.A’B’C’D’ có độ dài mỗi cạnh bằng 2. Tích vô hướng \(\overrightarrow {AB} .\overrightarrow {B’D’} \) bằng

Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(1; 3; 5), B(0; 6; −2), C(5; 3; 6). Tọa độ trọng tâm của tam giác ABC là:

Trong không gian Oxyz, cho điểm A(3; 0; −6). Gọi B là điểm nằm giữa O và A sao cho OB = \(\frac{1}{3}\)OA. Tọa độ của điểm B là

Trong không gian Oxyz, cho \(\overrightarrow a \) = (1; 2; 4) và \(\overrightarrow b \) = (2; 1; 5). Tích vô hướng \(\left( {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right).\overrightarrow a \) bằng

Trong không gian Oxyz, cho điểm M(2; 1; 0). Khẳng định nào sau đây là sai?

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(−1; 9; m) và B(2; m; 5). Biết rằng AB = 7, tập các giá trị của m là

Trong không gian, cho hai vectơ \(\overrightarrow a \) và \(\overrightarrow b \) tạo với nhau một góc bằng 60°. Biết \(\left| {\overrightarrow a } \right|\) = 2 và \(\left| {\overrightarrow b } \right| = 3\), tính \(\left| {\overrightarrow a + \overrightarrow b } \right|\) và \(\left| {\overrightarrow a – \overrightarrow b } \right|\).

Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ \(\overrightarrow a \) = (−4; 6; 7), \(\overrightarrow b \) = (1; 0; −3) và \(\overrightarrow c \) = (8; 7; 2). Tính tọa độ của các vectơ sau:

a) \(\overrightarrow m = 2\overrightarrow a – 3\overrightarrow b + \overrightarrow c \);

b) \(\overrightarrow n = \overrightarrow a + 3\overrightarrow b + 2\overrightarrow c \).

Cho hình tứ diện ABCD có ba cạnh AB, AC, AD đôi một vuông góc và AB = 3, AC = 4, AD = 6. Xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với đỉnh A và các tia Ox, Oy, Oz lần lượt trùng với các tia AB, AC, AD. Gọi E, F lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABD và ACD.

a) Tìm tọa độ của các đỉnh B, C, D.

b) Tìm tọa độ của các điểm E, F.

c) Chứng minh rằng AD vuông góc với EF.

Trong không gian Oxyz, cho hai điểm A(3; −1; m) và B(m; 4; m).

a) Tính côsin của góc \(\widehat {AOB}\) theo m.

b) Xác định tất cả các giá trị của m để \(\widehat {AOB}\) là góc nhọn.

Trên phần mềm GeoGebra 3D với các trục tọa độ được dựng sẵn, bạn Minh vẽ hai hình hộp chữ nhật với một số cạnh được đặt dọc theo các trục tọa độ. Ba đỉnh thuộc mặt dưới của hình hộp thứ nhất lần lượt là O(0; 0; 0), A(2; 0; 0), B(0; 3; 0). Biết hình hộp thứ hai ở vị trí cao hơn hình hộp thứ nhất 5 đơn vị, xác định tọa độ của các đỉnh O’, A’, B’ thuộc mặt dưới của hình hộp thứ hai.

Một chiếc gậy có chiều dài 2,5 m được đặt trong góc phòng như hình sau đây. Một đầu gậy nằm trên sàn, cách hai bức tường lần lượt là 1 m và 0,8 m. Đầu còn lại của chiếc gậy nằm trên mép tường.

a) Hãy lập một hệ tọa độ Oxyz phù hợp và tìm tọa độ của đầu gậy nằm trên sàn nhà.

b) Tính khoảng cách từ đầu gậy trên mép tường đến sàn nhà.