Một vật chuyển động đều với vận tốc có phương trình $v\left(t\right)=t^2-2t+1$, trong đó $t$ được tính bằng giây, quãng đường $s\left(t\right)$ được tính bằng mét. Khi đó:

a) Quãng đường đi được của vật sau 2 giây là $\frac{2}{3}\left(m\right).$

b) Quãng đường đi được của vật khi gia tốc bị triệt tiêu là $\frac{1}{3}\left(m\right).$

c) Quãng đường vật đi được trong khoảng từ 2 giây đến thời điểm mà vận tốc đạt $9\left(m/s\right)$ là $\frac{26}{3}\left(m\right).$

d) Quãng đường vật đi được từ 0 giây đến thời gian mà gia tốc bằng $10\left(m/s^2\right)$ là $44\left(m\right)$

Trong các khẳng định trên, có bao nhiêu khẳng định đúng?

Hàm số $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ trên khoảng $K$ nếu

Cho $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right),\int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)$. Khi đó, $I=\int \left[2g\left(x\right)-f\left(x\right)\right]dx$ bằng

$\int x^{5}dx$ bằng

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos x$ bằng

Cho hai hàm số $f\left(x\right),g\left(x\right)$ là hàm số liên tục, có $F\left(x\right),G\left(x\right)$ lần lượt là nguyên hàm của $f\left(x\right),g\left(x\right)$. Xét các mệnh đề sau:

(I). $F\left(x\right)+G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right)+g\left(x\right).$

(II). $kF\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $kf\left(x\right)$ với $k\ne 0.$

(III). $F\left(x\right).G\left(x\right)$ là một nguyên hàm của $f\left(x\right).g\left(x\right)$

Các mệnh đề đúng là

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\cos 3x$ bằng

Nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^2-3x+\frac{1}{x}$ là

Hàm số $F\left(x\right)=2\sin x-3\cos x+1$ là một nguyên hàm của hàm số nào sau đây?

Tìm nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^{3x}\left(1-3e^{-5x}\right)$

Cho hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $f^{\prime }\left(x\right)=x+\sin x$ và $f\left(0\right)=1$. Tìm $f\left(x\right)$

Cho $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=e^x+2x$. Tính $F\left(1\right)+F\left(2\right).$

Họ nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{x^2}-x^2-\frac{1}{3}$ là

Cho các mệnh đề dưới đây:

(I). $F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}-\frac{3}{2}{x}^2+\ln \left|x\right|+C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x^3-3x+\frac{1}{x}.$

(II). $F\left(x\right)=\frac{{\left(5x+3\right)}^6}{6}+C$ là nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)={\left(5x+3\right)}^5$

(III). $F\left(x\right)=\frac{3}{2}x\sqrt{x}+\frac{4}{3}x\sqrt[3]{x}+\frac{5}{4}x\sqrt[4]{x}+C$ là nguyên hàm của hàm số

$f\left(x\right)=\frac{2x^3\sqrt{x}}{7}-2x^2\sqrt{x}+\frac{2}{3}x\sqrt{x}+C.$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là

Cho hàm số $f\left(x\right)=2x+e^x$. Tìm một nguyên hàm $F\left(x\right)$ của hàm số $f\left(x\right)$ thỏa mãn $F\left(0\right)=2024.$

Cho hàm số $F\left(x\right)$ là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)$ với $f\left(x\right)=\frac{x{\left(x-3\right)}^2}{x^2}$ biết $F\left(1\right)=\frac{5}{2}$. Tính $F\left(2\right)$

Một vật chuyển động với gia tốc $a\left(t\right)=3t^2+t\left(m/s^2\right)$. Biết rằng vận tốc ban đầu của vật là $2\left(m/s\right).$ Vận tốc của vật đó sau hai giây là.

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất. Giả sử tại thời điểm $t$ giây (coi $t=0$ là thời điểm viên đạn được bắn lên trên), vận tốc của nó được cho bởi $v\left(t\right)=25-9,8t\left(m/s\right)$ Độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất lên) đạt giá trị lớn nhất là

Một ô tô đang chạy với vận tốc 19 m/s thì hãm phanh và chuyển động chậm dần với tốc độ $v\left(t\right)=19-2t$ (m/s). Kể từ khi hãm phanh, quãng đường ô tô đi được sau 5 giây là bao nhiêu?

Cho hàm số $y=f\left(x\right)$ có đạo hàm $f^{\prime }\left(x\right)=12x+2$ với mọi $x\in \mathbb{R}$ và $f\left(1\right)=3.$. Biết $F\left(x\right)$ là nguyên hàm của $f\left(x\right)$ thỏa mãn $F\left(0\right)=2$. Tính giá trị của $F\left(1\right).$