Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 – {x^2}} dx} \).

Cho \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx = 6} \) và \(\int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx = 2} \). Hãy tính:

a) \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx\);

b) \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) – 3g\left( x \right)} \right]} dx\).

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 – 2x} \right)}^2}} dx\);

b) \(\int\limits_1^4 {\frac{{x – 2}}{{\sqrt x }}dx} \).

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^2 {\left| {2x – 1} \right|dx} \);

b) \(\int\limits_{ – 2}^3 {\left| {x – 1} \right|dx} \).

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\cos x + 2\sin x} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {\left( {{3^x} – 2{e^x}} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2}}}{{2{e^x}}}} dx\).

Lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hóa bởi

$P^{\prime }\left(x\right)=-0,0005x+12,2$

a) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 101 đơn vị.

b) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 110 đơn vị.

Tìm chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian hai năm nếu chi phí cho mỗi đơn vị được tính bởi c(t) = 0,005t2 + 0,02t + 12,5 với 0 ≤ t ≤ 24, tính theo tháng.

Giả sử tổng chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong x năm có thể được mô hình hóa bởi công thức C = 5 000\(\left( {25 + 3\int\limits_0^x {{t^{\frac{1}{4}}}} dt} \right)\).

Tính tổng chi phí sau:

a) 1 năm;

b) 5 năm;

c) 10 năm.

Vận tốc v của một vật rơi tự do từ trạng thái đứng yên được cho bởi công thức v(t) = 9,8t, trong đó vận tốc v tính bằng m/s và thời gian t tính bằng giây.

a) Biểu thị quãng đường vật đi được trong T giây đầu tiên dưới dạng tích phân.

b) Tìm quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.