Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(-1;-2;3\right)$, $B\left(0;3;1\right)$, $C\left(4;2;2\right)$. Giá trị $\cos \left(\widehat{BAC}\right)$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-2;6;2\right)$. Vectơ $\frac{3}{2}\overrightarrow{a}$ có tọa độ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $M\left(1;-2;2\right)$ và $N\left(1;0;4\right)$. Tọa độ trung điểm của đoạn thẳng $MN$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;-2;3\right)$. Vectơ nào sau đây cùng phương với vectơ $\overrightarrow{u}$?

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(3;2;-5\right)$, $B\left(1;2;4\right)$, $C\left(2;5;-2\right)$. Tọa độ trọng tâm $G$ của tam giác $ABC$ là

Trong không gian $Oxyz$. cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;2;3\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(4;5;6\right)$. Tọa độ vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;2;3\right)$ và $\overrightarrow{v}=\left(4;-5;6\right)$. Vectơ $2\overrightarrow{u}-3\overrightarrow{v}$ cùng phương với vectơ nào?

Trong không gian $Oxyz$, cho hai điểm $A\left(0;2;1\right)$ và $B\left(3;-2;1\right)$. Độ dài đoạn thẳng $AB$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;0;1\right)$ và $\overrightarrow{c}=\left(1;1;0\right)$. Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{b}$ thỏa mãn đẳng thức $\overrightarrow{b}-\overrightarrow{a}+2\overrightarrow{c}=\overrightarrow{0}$ là

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $A\left(0;1;-1\right)$, $B\left(1;2;0\right)$, $\left(m;n;0\right)$. Giá trị $m,n$ sao cho ba điểm $A,B,C$ thẳng hàng:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(-1-1;0\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(0;-1;0\right)$. Góc giữa hai vectơ này là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;-2;3\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(-2;1;2\right)$. Tích vô hướng $\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)\overrightarrow{b}$ bằng

Trong không gian $Oxyz$ , cho điểm $G\left(1;-2;3\right)$ và ba điểm $A\left(a;0;0\right)$, $B\left(0;b;0\right)$, $C\left(0;0;c\right)$. Biết $G$ là trọng tâm của tam giác $ABC$ thì $a+b+c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, cho ba điểm $M\left(2;-3;-1\right)$, $N\left(0;3;1\right)$, $P\left(1;m-1;2\right)$. Với giá trị nào của $m$ thì tam giác $MNP$ vuông tại $N$?

Trong không gian $Oxyz$, cho các điểm $A\left(1;3;5\right)$, $B\left(1;1;3\right)$, $C\left(4;-2;3\right)$

Khi đó

a) Tọa độ trung điểm $C\left(4;-2;3\right)$ là $\left(\frac{5}{2};-\frac{1}{2};3\right)$

b) Độ dài đoạn thẳng $BC$ là $3\sqrt{2}$

c) Côsin $\widehat{BAC}$ bằng $\frac{7\sqrt{19}}{38}$

d) Gọi $D$ là đỉnh thứ tư của hình bình hành data-mathml=”$ABCD$“. Tọa độ hình chiếu của trọng tâm tam giác $ABD$ lên mặt phẳng $Oyz$ là $\left(2;0;0\right)$

Số mệnh đề đúng trong các mệnh đề trên là:

Trên phần mềm mô phỏng việc điều khiển drone giao hàng trong không gian $Oxyz$, một đội gồm ba drone giao hàng $A,B,C$ đang có tọa độ là $A\left(1;1;1\right)$, $B\left(5;7;9\right)$, $C\left(9;11;4\right)$. Gọi $d_1,d_2,d_3$ lần lượt là khoảng cách của mỗi cặp drone giao hàng trên. Tính $d_1+d_2+d_3$. (Kết quả làm tròn đến hàng đơn vị).

Trong không gian $Oxyz$, cho tam giác $ABC$ có $A\left(1;2;-1\right)$, $B\left(2;-1;3\right)$, $C\left(-4;7;5\right)$. Gọi $D\left(a;b;c\right)$ là chân đường phân giác trong góc $B$ của tam giác $ABC$. Giá trị $a+b+2c$ bằng

Trong không gian $Oxyz$, Cho ba điểm $A\left(-2;3;1\right)$, $B\left(2;1;0\right)$, $C\left(-3;-1;1\right)$. Tìm tất cả các giá trị của tọa độ điểm $D$ sao cho $ABCD$ là hình thang có đáy $AD$ và $S_{ABCD}=3S_{ABC}$

Hai chiếc khinh khí cầu bay lên từ cùng một địa điểm. Chiếc thứ nhất cách điểm xuất phát 2 km về phía nam và 1 km về phía đông, đồng thời cách mặt đất 0,5 km. chiếc thứ hai mằm cách điểm xuất phát 1 km về phía bắc và 1,5 km về phía tây, đồng thời cách mặt đất 0,8 m. Chọn hệ trục $Oxyz$ với O là gốc đặt tại điểm xuất phát của hai khinh khí cầu, mặt phẳng $\left(Oxy\right)$ trùng với mặt đất với trục $Ox$ hướng về phía nam, trục $Oy$ hướng về phía đông và trục $Oz$ hướng thẳng đứng lên trời, đơn vị đo lấy theo kilomet.

Khi đó:

a) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ nhất là $\left(2;1;0,5\right)$

b) Với hệ tọa độ đã chọn, tọa độ khinh khí cầu thứ hai là $\left(-1,5;-1;0,8\right)$

c) Khoảng cách từ điểm xuất phát đến khinh khí cầu thứ nhất bằng $\sqrt{21}$

d) Khoảng cách hai chiếc khinh khí cầu là 3,92 km (Kết quả làm tròn đến hàng phần trăm).

Số khẳng định đúng trong các khẳng định trên là:

Trong không gian $Oxyz$, cho hình thang $ABCD$ vuông tại A và B. Ba đỉnh $A\left(1;2;1\right)$, $B\left(2;0;-1\right)$, $C\left(6;1;0\right)$. Hình thang có diện tích bằng $6\sqrt{2}$. Giả sử đỉnh $D\left(a;b;c\right)$, tìm mệnh đề đúng.