Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} – 4x + 8}}{{x – 2}};\)

b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x – 5}}{{x + 1}}.\)

Lời giải của Vua Trắc Nghiệm

a) \(y = \frac{{{x^2} – 4x + 8}}{{x – 2}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = x – 2 + \(\frac{4}{{x – 2}}\).

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).

Vì vậy, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – 4x + 8}}{{x – 2}} = + \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{{x^2} – 4x + 8}}{{x – 2}} = – \infty \).

Vì vậy,đường thẳng x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – (x – 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {x–2 + \frac{4}{{x – 2}} – (x – 2)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{4}{{x – 2}} = 0.\)

Vì vậy, đường thẳng y = x – 2 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y‘ =\(\frac{{{x^2} – 4x}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\)

y‘ = 0 ⇔ \(\frac{{{x^2} – 4x}}{{{{\left( {x – 2} \right)}^2}}}\)= 0 ⇔ x = 0 hoặc x = 4.

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 0) và (4; +∞).

Hàm số nghịch biến trên các khoảng (0; 2) và (2; 4).

Hàm số đạt cực đại tại x = 0 và y_CĐ = −4.

Hàm số đạt cực tiểu tại x = 4 và y_CT = 4.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −4).

Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

Tâm đối xứng của đồ thị hàm số là điểm (2; 0).

Hai trục đối xứng của đồ thị hàm số là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau:

b) \(y = \frac{{2{x^2} + 3x – 5}}{{x + 1}}\)

1. Tập xác định: D = ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

Ta có: y = 2x + 1 − \(\frac{6}{{x + 1}}\).

Giới hạn tại vô cực:

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – \infty } y = – \infty ;\) \(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } y = + \infty \).

Vì vậy, đồ thị hàm số không có tiệm cận ngang.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ + }} \frac{{2{x^2} + 3x – 5}}{{x + 1}} = – \infty \); \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {1^ – }} \frac{{2{x^2} + 3x – 5}}{{x + 1}} = + \infty \).

Vì vậy, đường thẳng x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {y – (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {2x + 1 – \frac{6}{{x + 1}} – (2x + 1)} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – 6}}{{x + 1}} = 0.\)

Vì vậy, đường thẳng y = 2x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ta có: y‘ =\(\frac{{2{x^2} + 4x + 8}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) = \(\frac{{2{{\left( {x + 1} \right)}^2} + 6}}{{{{\left( {x + 1} \right)}^2}}}\) > 0, với mọi x ≠ −1.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

Hàm số không có cực trị.

3. Đồ thị hàm số

Đồ thị hàm số cắt trục tung tại điểm (0; −5).

Đồ thị hàm số cách trục hoành tại điểm \(\left( { – \frac{5}{2};0} \right)\) và (1; 0).

Đồ thị hàm số có tâm đối xứng là điểm (−1; −1).

Hai trục đối xứng của đồ thị là hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận.

Đồ thị hàm số như sau: