Tìm tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số sau:

a) \(y = \frac{{{x^2} – x – 5}}{{x – 2}};\)

b) y = \(\frac{{3{x^2} + 8x – 2}}{{x + 3}}.\)

Lời giải của Vua Trắc Nghiệm

a) \(y = \frac{{{x^2} – x – 5}}{{x – 2}};\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ + }} \frac{{{x^2} – x – 5}}{{x – 2}} = – \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to {2^ – }} \frac{{{x^2} – x – 5}}{{x – 2}} = + \infty \).

Vì vậy, đường thẳng x = 2 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{{x^2} – x – 5}}{{\left( {x – 2} \right)x}} = 1\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y – x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{{x^2} – x – 5}}{{x – 2}} – x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{x – 5}}{{x – 2}} = 1\).

Do đó đường thẳng y = x + 1 là đường tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

b) y = \(\frac{{3{x^2} + 8x – 2}}{{x + 3}}\)

Ta có: \(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ + }} \frac{{3{x^2} + 8x – 2}}{{x + 3}} = + \infty \);

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} y = \mathop {\lim }\limits_{x \to – {3^ – }} \frac{{3{x^2} + 8x – 2}}{{x + 3}} = – \infty \)

Vì vậy đường thẳng x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{y}{x} = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{3{x^2} + 8x – 2}}{{\left( {x + 3} \right)x}} = 3\).

\(\mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left( {y – 3x} \right) = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \left[ {\frac{{3{x^2} + 8x – 2}}{{x + 3}} – 3x} \right] = \mathop {\lim }\limits_{x \to + \infty } \frac{{ – x – 2}}{{x – 2}} = – 1\).

Vì vậy đường thẳng y = 3x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.