Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {\left( {{3^x} – 2{e^x}} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {\frac{{{{\left( {{e^x} – 1} \right)}^2}}}{{2{e^x}}}} dx\).

Lợi nhuận biên của một sản phẩm được mô hình hóa bởi

$P^{\prime }\left(x\right)=-0,0005x+12,2$

a) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 101 đơn vị.

b) Tìm sự thay đổi lợi nhuận khi doanh số bán hàng tăng từ 100 lên 110 đơn vị.

Tìm chi phí trung bình trên mỗi đơn vị sản phẩm trong khoảng thời gian hai năm nếu chi phí cho mỗi đơn vị được tính bởi c(t) = 0,005t2 + 0,02t + 12,5 với 0 ≤ t ≤ 24, tính theo tháng.

Giả sử tổng chi phí mua và bảo trì một thiết bị trong x năm có thể được mô hình hóa bởi công thức C = 5 000\(\left( {25 + 3\int\limits_0^x {{t^{\frac{1}{4}}}} dt} \right)\).

Tính tổng chi phí sau:

a) 1 năm;

b) 5 năm;

c) 10 năm.

Vận tốc v của một vật rơi tự do từ trạng thái đứng yên được cho bởi công thức v(t) = 9,8t, trong đó vận tốc v tính bằng m/s và thời gian t tính bằng giây.

a) Biểu thị quãng đường vật đi được trong T giây đầu tiên dưới dạng tích phân.

b) Tìm quãng đường vật đi được trong 5 giây đầu tiên.

Một ô tô đang chạy với vận tốc 20 m/s thì người lái đạp phanh. Sau khi đạp phanh, ô tô chuyển động chậm dần đều với vận tốc v(t) = −40t + 20 (m/s), trong đó t là thời gian tính bằng giây kể từ lúc đạp phanh. Hỏi từ lúc đạp phanh đến khi dừng hẳn, ô tô còn di chuyển bao nhiêu mét?

Kí hiệu T là hình thang vuông giới hạn bởi đường thẳng y = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = t (1 ≤ t ≤ 4) (H.4.4)

a) Tính diện tích S của T khi t = 4.

b) Tính diện tích S(t) của T khi t ∈ [1; 4].

c) Chứng minh rằng S(t) là một nguyên hàm của hàm số f(t) = t + 1, t ∈ [1; 4] và diện tích S = S(4) – S(1).

Xét hình thang cong giới hạn bởi đồ thị y = x², trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 2. Ta muốn tính diện tích S của hình thang cong này.

a) Với mỗi x ∈ [1; 2], gọi S(x) là diện tích phần hình thang cong đã cho nằm giữa hai đường thẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ bằng 1 và x (H.4.5).

Cho h > 0 sao cho x + h < 2. So sánh hiệu S(x + h) – S(x) với diện tích hai hình chữ nhật MNPQ và MNEF (H.4.6). Từ đó suy ra \(0 \le \frac{{S\left( {x + h} \right) – S\left( x \right)}}{h} – {x^2} \le 2xh + {h^2}\).

b) Cho h < 0 sao cho x + h > 1. Tương tự phần a, đánh giá hiệu S(x) – S(x + h) và từ đó suy ra \(2xh + {h^2} \le \frac{{S\left( {x + h} \right) – S\left( x \right)}}{h} – {x^2} \le 0\).

c) Từ kết quả phần a và phần b, suy ra với mọi h ≠ 0, ta có \(\left| {\frac{{S\left( {x + h} \right) – S\left( x \right)}}{h} – {x^2}} \right| \le 2x\left| h \right| + {h^2}\).

Từ đó chứng minh S'(x) = x², x ∈ (1; 2).

Người ta chứng minh được S'(1) = 1, S'(2) = 4, tức là S(x) là một nguyên hàm của x² trên [1; 2].

d) Từ kết quả của phần c, ta có \(S\left( x \right) = \frac{{{x^3}}}{3} + C\). Sử dụng điều này với lưu ý S(1) = 0 và diện tích cần tính S = S(2), hãy tính S.

Gọi F(x) là một nguyên hàm tùy ý của f(x) = x² trên [1; 2]. Hãy so sánh S và F(2) – F(1).

Giả sử f(x) là hàm số liên tục trên đoạn [a; b], F(x) và G(x) là hai nguyên hàm tùy ý của f(x) trên đoạn [a; b]. Chứng minh rằng F(b) – F(a) = G(b) – G(a).

Tính:

a) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}{e}^{x}dx$

b) $\underset{1}{\overset{e}{\int }}\frac{1}{x}dx$

c) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\sin xdx$

d) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\frac{dx}{{\sin }^{2}x}$

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) \(\int\limits_1^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_{ – 2}^2 {\sqrt {4 – {x^2}} } dx\).

Tính và so sánh:

a) \(\int\limits_0^1 {2xdx} \) và \(2\int\limits_0^1 {xdx} \);

b) \(\int\limits_0^1 {\left( {{x^2} + x} \right)dx} \) và \(\int\limits_0^1 {{x^2}dx} + \int\limits_0^1 {xdx} \);

c) \(\int\limits_0^3 {xdx} \) và \(\int\limits_0^1 {xdx} + \int\limits_1^3 {xdx} \).

Tính các tích phân sau:

a) $\underset{0}{\overset{2\pi }{\int }}\left(2x+\cos x\right)dx$

b) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(3^x-\frac{3}{x}\right)dx$

c) $\underset{\frac{\pi }{6}}{\overset{\frac{\pi }{3}}{\int }}\left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

Tính $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|2x-3\right|dx$

Giá trị trung bình của hàm số liên tục f(x) trên đoạn [a; b] được định nghĩa là $\frac{1}{b-a}\underset{a}{\overset{b}{\int }}f\left(x\right)dx$

Giả sử nhiệt độ (tính bằng °C) tại thời điểm t giờ trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa ở một địa phương vào một ngày nào đó được mô hình hóa bởi hàm số T(t) = 20 + 1,5(t – 6), 6 ≤ t ≤ 12. Tìm nhiệt độ trung bình vào ngày đó trong khoảng thời gian từ 6 giờ sáng đến 12 giờ trưa.

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) $\underset{1}{\overset{2}{\int }}\left(2x+1\right)dx$

b) $\underset{-3}{\overset{3}{\int }}\sqrt{9-x^2}dx$

Cho $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=5$. Tính:

a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$

b) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[f\left(x\right)-g\left(x\right)\right]dx$

c) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}3f\left(x\right)dx$

d) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left[2f\left(x\right)-3g\left(x\right)\right]dx$

Tính:

a) $\underset{0}{\overset{3}{\int }}{\left(3x-1\right)}^{2}dx$

b) $\underset{0}{\overset{\frac{\pi }{2}}{\int }}\left(1+\sin x\right)dx$

c) $\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(e^{2x}+3x^2\right)dx$

d) $\underset{-1}{\overset{2}{\int }}\left|2x+1\right|dx$

Một vật chuyển động dọc theo một đường thẳng sao cho vận tốc của nó tại thời điểm t (giây) là v(t) = t² – t – 6 (m/s).

a) Tìm độ dịch chuyển của vật trong khoảng thời gian 1 ≤ t ≤ 4, tức là tính $\underset{1}{\overset{4}{\int }}v\left(t\right)dt$

b) Tìm tổng quãng đường vật đi được trong khoảng thời gian này, tức là tính $\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|v\left(t\right)\right|dt.$

Giả sử lợi nhuận biên (tính bằng triệu đồng) của một sản phẩm được mô hình hóa bằng công thức P'(x) = −0,0005x + 12,2. Ở đây P(x) là lợi nhuận (tính bằng triệu đồng) khi bán được x đơn vị sản phẩm.

a) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 101 sản phẩm.

b) Tìm sự thay đổi của lợi nhuận khi doanh số tăng từ 100 lên 110 sản phẩm.

Giả sử vận tốc v của dòng máu ở khoảng cách r từ tâm của động mạch bán kính R không đổi, có thể được mô hình hóa bởi công thức v = k(R² – r²), trong đó k là một hằng số. Tìm vận tốc trung bình (đối với r) của động mạch trong khoảng 0 ≤ r ≤ R. So sánh vận tốc trung bình với vận tốc lớn nhất.

Tìm hàm số y = f(x), biết f‘(x) = \(3\sqrt x + \frac{2}{{\sqrt[3]{x}}}\) (x > 0) và f(1) = 1.

Tìm:

a) \(\int {\frac{{{{\left( {x + 2} \right)}^2}}}{{{x^4}}}dx} \);

b) \(\int {\sqrt x \left( {7{x^2} + 6} \right)dx} \).

Tìm:

a) \(\int {\left( {3x + 4} \right)\sqrt[3]{x}} dx\);

b) \(\int {\frac{{{{\left( {2x + 3} \right)}^2}}}{{\sqrt x }}dx} \).

Tìm:

a) \(\int {\left( {2{e^x} + \frac{1}{{{3^x}}}} \right)} dx\);

b) \(\int {\left( {{x^2} + {2^x}} \right)} dx\).

Tìm:

a) \(\int {{{\left( {{2^x} + {3^x}} \right)}^2}dx} \);

b) \(\int {{{\left( {{e^x} – {e^{ – x}}} \right)}^2}dx} \).

Tìm:

a) \(\int {\left( {2\cos x + \frac{3}{{\sqrt x }}} \right)dx} \);

b) \(\int {\left( {3\sqrt x – 4\sin x} \right)dx} \).

Tìm

a) \(\int {\left( {x + {{\sin }^2}\frac{x}{2}} \right)dx} \);

b) \(\int {{{\left( {2\tan x + \cot x} \right)}^2}dx} \).

Một viên đạn được bắn thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc tại thời điểm t (t = 0 là thời điểm viên đạn được bắn lên) cho bởi v(t) = 150 – 9,8t (m/s). Tìm độ cao của viên đạn (tính từ mặt đất):

a) Sau t = 3 giây;

b) Khi nó đạt độ cao lớn nhất (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất của mét).

Cho F(u) là một nguyên hàm của hàm số f(u) trên khoảng K và u(x), x ∈ J, là hàm số có đạo hàm liên tục, u(x) ∈ K với mọi x ∈ J. Tìm \(\int {f\left( {u(x)} \right).u'(x)dx} \).

Áp dụng: Tìm \(\int {{{\left( {2x + 1} \right)}^5}dx} \) và \(\int {\frac{1}{{\sqrt {2x + 1} }}dx} \).

Tìm:

a) \(\int {\frac{{2x – 1}}{{x + 1}}dx} \);

b) \(\int {\left( {3 + 2{{\sin }^2}x} \right)dx} \).

Một máy bay di chuyển ra đến đường băng và bắt đầu chạy đà để cất cánh. Giả sử vận tốc của máy bay khi chạy đà được cho bởi v(t) = 5 + 3t (m/s), với t là thời gian (tính bằng giây) kể từ khi máy bay bắt đầu chạy đà. Sau 30 giây thì máy bay cất cánh rời đường băng. Quãng đường máy bay đã di chuyển kể từ khi bắt đầu chạy đà đến khi rời đường băng là bao nhiêu mét?

Cho hai hàm số f(x) = x² + 1 và $F\left(x\right)=\frac{1}{3}{x}^3+x$, với x ∈ ℝ.

a) Tính đạo hàm của hàm số F(x).

b) F'(x) và f(x) có bằng nhau không?

Hàm số nào dưới đây là một nguyên hàm của hàm số $f\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; +∞).

a) $F\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2+\ln x$

b) $G\left(x\right)=\frac{x^2}{2}-\ln x$

a) Chứng minh rằng hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^4}{4}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x) = x³ trên ℝ.

b) Hàm số $G\left(x\right)=\frac{x^4}{4}+C$ (với C là hằng số) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên ℝ không? Vì sao?

Cho f(x) là hàm số liên tục trên K, k là một hằng số khác 0. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x) trên K.

a) Chứng minh kF(x) là một nguyên hàm của hàm số kf(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int kf\left(x\right)dx$ và $k\int f\left(x\right)dx$

Cho hàm số f(x) = xⁿ (n ∈ ℕ*).

a) Chứng minh rằng hàm số $F\left(x\right)=\frac{x^{n+1}}{n+1}$ là một nguyên hàm của hàm số f(x). Từ đó tìm $\int x^{n}dx$

b) Từ kết quả câu a, tìm $\int k{x}^{n}dx$ (k là hằng số thực khác 0).

Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ và $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$

Tìm

a) $\int \left(3x^2+1\right)dx$

b) $\int {\left(2x-1\right)}^{2}dx$

Doanh thu bán hàng của một công ty khi bán một loại sản phẩn là số tiền R(x) (triệu đồng) thu được khi x đơn vị sản phẩm được bán ra. Tốc độ biến động (thay đổi) của doanh thu khi x đơn vị sản phẩm đã được bán là hàm số M_R(x) = R'(x). Một công ty công nghệ cho biết, tốc độ biến đổi của doanh thu khi bán một loại con chíp của hãng được cho bởi M_R(x) = 300 – 0,1x, ở đó x là số lượng chíp đã bán. Tìm doanh thu của công ty khi đã bán 1000 con chíp.

Bằng cách viết lại các hàm số sau dưới dạng hàm số lũy thừa y = x^α (x > 0), hãy tính đạo hàm của các hàm số sau với x > 0: $y=\frac{1}{x^4};y=x^{\sqrt{2}};y=\frac{1}{\sqrt[3]{x}}$

a) Với α ≠ −1, tính đạo hàm của hàm số $y=\frac{x^{\alpha +1}}{\alpha +1}\left(x>0\right)$

b) Cho hàm số y = ln|x| (x ≠ 0). Tính đạo hàm của hàm số này trong hai trường hợp: x > 0 và x < 0.

Tìm:

a) $\int \frac{1}{x^4}dx$

b) $\int x\sqrt{x}dx\left(x>0\right)$

c) $\int \left(\frac{3}{x}-5\sqrt[3]{x}\right)dx\left(x>0\right)$

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.

Tìm:

a) $\int \left(3\cos x-4\sin x\right)dx$

b) $\int \left(\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}\right)dx$

a) Tính đạo hàm của các hàm số sau và nêu kết quả tương ứng vào bảng dưới đây.

b) Sử dụng kết quả ở câu a, tìm nguyên hàm của các hàm số cho trong bảng dưới đây.

Tìm:

a) $\int 4^{x}dx$

b) $\int \frac{1}{e^x}dx$

c) $\int \left({2.3}^x-\frac{1}{3}{.7}^x\right)dx$

Trong mỗi trường hợp sau, hàm số F(x) có là một nguyên hàm của hàm số f(x) trên khoảng tương ứng không? Vì sao?

a) F(x) = xlnx và f(x) = 1 + lnx trên khoảng (0; +∞);

b) F(x) = e^sinx và f(x) = e^cosx trên ℝ.

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

a) f(x) = 3x² + 2x – 1;

b) f(x) = x³ – x;

Tìm nguyên hàm của các hàm số sau:

c) f(x) = (2x + 1)²;

d) $f\left(x\right)={\left(2x-\frac{1}{x}\right)}^2$