Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) y = (x – 1)³, y = x – 1,x = 0, x = 1.

b) y = x³ + 2x² – 3x, y = x² + 3x, x = −3, x = 0.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi các đường sau:

a) $y=e^x,y=\sqrt{x},x=0,x=1$

b) $y=\cos x,y=\frac{1}{2},x=0,x=\frac{\pi }{3}$

Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox:

a) y = \(2\sqrt x \), y = 0, x = 1, x = 4.

b) y = 4x, y = x3, x = 0, x = 2.

Xét hình phẳng giới hạn bởi các đường $y=\sqrt{x},y=\frac{x^2}{8},x=0,x=4$

a) Tính diện tích hình phẳng.

b) Tính thể tích khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng xung quanh trục Ox.

Tính thể tích của vật thể ℬ, biết đáy của ℬ là hình tròn bán kính 2 và mặt cắt vuông góc với mặt đáy là những hình vuông (H.4.6).

Hàm cầu và hàm cung của một sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: p = −0,2x + 8 và hàm cung: p = 0,1x + 2, trong đó x là số đơn vị sản phẩm, p là giá của mỗi đơn vị sản phẩm (tính bằng triệu đồng). Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất đối với sản phẩm này.

Chi phí nhiên liệu dự kiến C (tính bằng triệu đô la mỗi năm) khi sử dụng một loại xe tải của một công ty vận tải từ năm 2020 đến năm 2030 là C₁ = 5,6 + 2,2t, 0 ≤ t ≤ 10, trong đó t = 0 tương ứng với năm 2020. Nếu công ty sử dụng một loại xe tải khác có động cơ hiệu quả hơn thì chi phí nhiên liệu dự kiến sẽ giảm và tuân theo hàm mô hình C₂ = 4,7 + 2,04t, 0 ≤ t ≤ 10. Công ty có thể tiết kiệm được bao nhiêu khi sử dụng lạo xe tải với động cơ hiệu quả hơn?

Doanh thu từ một quy trình sản xuất (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tuân theo mô hình R = 100 + 0,08t trong 10 năm. Trong cùng khoảng thời gian đó, chi phí (tính bằng triệu đô la mỗi năm) được dự kiến sẽ tăng theo mô hình C = 60 + 0,2t², trong đó t là thời gian (tính bằng năm). Ước tính lợi nhuận trong khoảng thời gian 10 năm.

Một trận dịch lây lan đến mức sau khi bùng phát t tuần số người nhiễm bệnh là:

N₁(t) = 0,1t² + 0,5t + 150, 0 ≤ t ≤ 50.

Hai mươi lăm tuần sau dịch sẽ bùng phát, một loại vắc xin đã được phát triển và tiêm cho công chúng. Khi đó, số người nhiễm bệnh được điều chỉnh theo mô hình

N₂(t) = −0,2t² + 6t + 200, 25 ≤ t ≤ 50.

a) Thời điểm t để sau khi tiêm vắc xin thì dịch bệnh kết thúc, tức là số người nhiễm bệnh N₂(t) = 0.

b) Ước tính gần đúng số người mà vắc xin đã ngăn ngừa khỏi dịch bệnh trong thời gian xảy ra dịch bệnh.

Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = −2; x = 1 (H.4.12).

a) Tính diện tích S của hình phẳng này.

b) Tính $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ và so sánh với S.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x² – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).

Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x² + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).

a) Giả sử S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x² + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S₁, S₂ và từ đó suy ra S.

b) Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$ và so sánh với S.

Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=\sqrt{x}$, y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau (x₀; p₀) của đồ thị hàm cầu p = D(x) và đồ thị hàm cung p = S(x) được gọi là điểm cân bằng.

Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p = p₀ và đường thẳng đứng x = 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang p = p₀ và đường thẳng đứng x = 0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: p = −0,36x + 9 và hàm cung: p = 0,14x + 2, trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b) (H.4.20).

a) Tính thể tích V của hình trụ.

b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b). Từ đó tính $\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$ và so sánh với V.

Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S₀, S₁ và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).

a) Tính thể tích V của khối nón.

b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là S(x) = πf²(x). Tính $\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$ và so sánh với V.

a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28).

b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.

Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.

Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = e^x, y = x² – 1, x = −1, x = 1;

b) y = sinx, y = x, \(x = \frac{\pi }{2},x = \pi \);

c) y = 9 – x², y = 2x², \(x = – \sqrt 3 ,x = \sqrt 3 \);

d) \(y = \sqrt x ,\)y = x², x = 0, x = 1.

Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình y = x sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz y = f(x), biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với 0 ≤ x ≤ 100, biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường con Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số

y = (0,00061x² + 0,0218x + 1723)², 0 ≤ x ≤ 100,

trong đó x được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.

Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: y = 2x – x², y = 0, x = 0, x = 2.

Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y=\sqrt{R^2-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = R – h, x = R xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và $\widehat{AOB}=\alpha \left(0<\alpha \le \frac{\pi }{4}\right)$. Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).

a) Tính thể tích V của β theo a và α.

b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất.

Sử dụng ý nghĩa hình học của tích phân, tính:

a) \(\int\limits_0^3 {\left( {2x + 1} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_0^4 {\sqrt {16 – {x^2}} dx} \).

Cho \(\int\limits_0^5 {f\left( x \right)dx = 6} \) và \(\int\limits_0^5 {g\left( x \right)dx = 2} \). Hãy tính:

a) \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) + 3g\left( x \right)} \right]} dx\);

b) \(\int\limits_0^5 {\left[ {2f\left( x \right) – 3g\left( x \right)} \right]} dx\).

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^1 {{{\left( {1 – 2x} \right)}^2}} dx\);

b) \(\int\limits_1^4 {\frac{{x – 2}}{{\sqrt x }}dx} \).

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^2 {\left| {2x – 1} \right|dx} \);

b) \(\int\limits_{ – 2}^3 {\left| {x – 1} \right|dx} \).

Tính các tích phân sau:

a) \(\int\limits_0^{\frac{\pi }{2}} {\left( {3\cos x + 2\sin x} \right)dx} \);

b) \(\int\limits_{\frac{\pi }{6}}^{\frac{\pi }{4}} {\left( {\frac{1}{{{{\cos }^2}x}} – \frac{1}{{{{\sin }^2}x}}} \right)dx} \).